Найдите площадь треугольника, образованного векторами $$vec{AB}(0,5)$$ и $$vec{AC}(5,12)$$

Скалярное произведение двух векторов на плоскости равно сумме произведений одноименных координат: $$vec{AB}cdotvec{AC}=0cdot5+5cdot12=60$$

Найдем длины этих векторов: $$left|vec{AB}right|=sqrt{0^2+5^2}=5$$; $$left|vec{AC}right|=sqrt{5^2+12^2}=13$$

Теперь найдем косинус угла между векторами $$cosalpha=frac{vec{AB}cdotvec{AC}}{left|vec{AB}cdotvec{AC}right|}=frac{60}{5cdot13}=frac{12}{13}$$

По основному тригонометрическому тождеству находим синус того же угла $$sinalpha=sqrt{1-cos^2alpha}=sqrt{1-left(frac{12}{13}right)^2}=frac5{13}$$

Площадь треугольника определяем по формуле $$S=frac12cdot ABcdot ACcdot sinalpha=frac12cdot5cdot13cdotfrac5{13}=12,5$$