Найдите площадь треугольника, образованного векторами $$\vec{AB}(0,5)$$ и $$\vec{AC}(5,12)$$

Скалярное произведение двух векторов на плоскости равно сумме произведений одноименных координат: $$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\cdot5+5\cdot12=60$$

Найдем длины этих векторов: $$\left|\vec{AB}\right|=\sqrt{0^2+5^2}=5$$; $$\left|\vec{AC}\right|=\sqrt{5^2+12^2}=13$$

Теперь найдем косинус угла между векторами $$cos\alpha=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\left|\vec{AB}\cdot\vec{AC}\right|}=\frac{60}{5\cdot13}=\frac{12}{13}$$

По основному тригонометрическому тождеству находим синус того же угла $$sin\alpha=\sqrt{1-cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\frac5{13}$$

Площадь треугольника определяем по формуле $$S=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot sin\alpha=\frac12\cdot5\cdot13\cdot\frac5{13}=12,5$$