Найдите значение коэффициента k, если известно, что касательная к графику функции $$y=kcosx+(5+k)\;sinx$$ в точке $$x_0=-\frac\pi3$$ параллельна прямой y = x + 2

Составим уравнение касательной к графику функции в данной точке: y_k=f'(x₀)•(x-x₀)+f(x₀)

$$f(-\frac\pi3)=k\cdot cos(-\frac\pi3)+(5+k)\cdot sin(-\frac\pi3)=-5-k$$

$$f'(-\frac\pi3)=-k\cdot sin(-\frac\pi3)+(5+k)\cdot cos(-\frac\pi3)=k$$

$$y_k=k(x+\frac\pi3)-k-5=kx+k\cdot\frac\pi3-k-5$$

Так как касательная параллельна прямой y=x+2, то коэффициенты при x в уравнениях прямых равны между собой: kx=x.

Значит k=1