Найдите точку максимума функции $$f(x)=\frac53x^6+\frac25x^5-\frac{35}3x^3-\frac72x^2+105$$, принадлежащую промежутку $$\left[-1;1\right]$$.

Найдем первую производную и определим точки экстремума:

f'(x)=10x⁵+2x⁴-35x²-7x

Найдем точки, в которых f'(x)=0

10x⁵+2x⁴-35x²-7x=0

2x⁴(5x+1)-7x(5x+1)=0

x(2x³-7)(5x+1)=0

x₁=0

2x³-7=0

x³=7/2 —> $$x_2=\sqrt[3]{\frac72}>1$$

5x+1=0

x₃=-1/5

Функция при x<-1/5 убывает, так как производная отрицательная. При -1/5<x<0 — функция возрастает, производная — положительная. При 0<x<$$\sqrt[3]{\frac72}$$ — функция убывает, производная — отрицательная. При x>$$\sqrt[3]{\frac72}$$ — функция возрастает, производная — положительная.

Точка максимума на промежутке $$\left[-1;1\right]$$: х=0